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Est-il possible de dériver l'équation de Michaelis-Menten dans des conditions où la formation du produit est réversible

Est-il possible de dériver l'équation de Michaelis-Menten dans des conditions où la formation du produit est réversible


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Les manuels scolaires, etc. dérivent généralement l'équation de Michaelis-Menten pour le cas irréversible, c'est-à-dire $$ce{E + S <=> ES -> E +P}$$ Je ne vois pas comment le faire pour le cas réversible, c'est-à-dire $ $ce{E + S <=> ES <=> E +P};$$ Est-ce possible ?


Non, il n'est pas possible de dériver l'équation pour le cas réversible. En effet, l'équation de Michaelis-Menten est dérivée de l'hypothèse explicite que la concentration du substrat est bien supérieure à la concentration du produit de sorte que la réaction inverse ne se produit pas. Cela est vrai au début d'une réaction en laboratoire lorsque vous ajoutez de l'enzyme à votre substrat. Plus tard, lorsque le produit s'accumule, ces conditions ne tiennent plus et l'équation M-M s'effondre.

Il est possible de dériver une équation différente pour le cas réversible (comme le font d'autres affiches), mais cela soulève la question de l'importance de l'équation de Michaelis-Menten pour la biologie. L'affiche semble penser qu'il s'agit d'une vérité universelle, importante en soi ou parce qu'elle modélise la réaction dans la cellule vivante. Je pense que cela manque le point, qui je pense est le suivant.

  1. Il s'agissait à l'origine d'une prédiction et donc d'un test de l'hypothèse selon laquelle les enzymes ont un seul site actif auquel le substrat se lie et est converti en produits.

  2. Il a permis de quantifier deux aspects fondamentaux de ce modèle enzymatique : (i) l'affinité de liaison du substrat pour le site actif, comme l'inverse Km, et (ii) l'efficacité catalytique ('smartness') comme le chiffre d'affaires ou kcat , qui est dérivé de Vmax (et de la concentration enzymatique).

  3. Ces constantes enzymatiques peuvent être utilisées pour répondre à des questions biologiques, par exemple si une enzyme capable d'une réaction particulière dans le tube à essai est capable de rendre compte des vitesses de réaction observées dans un tissu. Ou si le substrat que vous trouvez que l'enzyme peut utiliser est susceptible d'être le substrat physiologique dans un tissu.

  4. Il révèle des enzymes qui ne présentent pas de cinétique M-M, ce qui implique que certains aspects du modèle ne s'appliquent pas à elles. Cela peut être d'un intérêt principalement chimique (cinétique de ping-pong, etc.) régulation plus fine.

  5. Et si vous souhaitez modéliser les réactions au sein des cellules, les constantes cinétiques peuvent être utiles. Cependant, comme on a normalement affaire à une chaîne de réactions dans un système ouvert, les mathématiques sont complexes (et n'ont rien à voir avec l'équation d'une seule réaction réversible dans le tube à essai).

La plupart des étudiants en biochimie (et de nombreux enseignants) auraient du mal à expliquer pourquoi ils devraient apprendre la dérivation de l'équation de Michaelis-Menten. La réponse est en partie pour qu'ils voient qu'il est basé sur un modèle particulier de l'enzyme, mais aussi pour qu'ils soient conscients des hypothèses sur lesquelles il est basé. Par conséquent, ils doivent être conscients que l'équation de Michaelis-Menten n'est vraie que pour initiale taux de réaction, sinon leur détermination des Km et Vmax utiles sur le plan pratique et biologique sera incorrecte.


L'équation réversible de Michaelis-Menten

Une équation pour la forme réversible de l'équation de Michaelis-Menten a été dérivée pour la première fois par Haldane (1932, p 81), et la forme montrée dans l'équation (1) a été donnée pour la première fois par Peller et Alberty (1953).

$$ v = { {{{V_{max}^f}over{K_{m}^s}} s -{{V_{max}^r}over{K_{m}^p}} p }over{1 + {{s}over{K_{m}^s}} + {{p}over{K_{m}^p}}}} (1)$ $

  • $v$ est la vitesse
  • $s$ est la concentration du substrat
  • $p$ est la concentration du produit
  • $K_{m}^s$ est la constante de Michaelis pour $s$
  • $K_{m}^p$ est la constante de Michaelis pour $p$
  • $V_{max}^f $ est la vitesse maximale dans la direction "vers l'avant"
  • $V_{max}^r $ est la vitesse maximale dans le sens "inverse"

Mettre $p$ à zéro donne la forme la plus familière de l'équation de Michaelis-Menten (où $v_i$ est maintenant la vitesse initiale)

$$ v_i = { {{V_{max}^f} s }over{K_{m}^s + s}} (2)$$

Dérivation de la loi des taux

Comment l'équation (1) peut-elle être dérivée ?

Cela a été fait par (entre autres) Cornish-Bowden (2004, pp 48-52), et la dérivation donnée ci-dessous suit de près cette source (avec l'aide de Wolfram Mathematica).

Considérons la forme suivante du mécanisme enzymatique réversible à un seul substrat et à un seul produit

Un substrat $s$ peut se lier de manière réversible à $E$ (l'enzyme « libre ») pour donner $ES$. Celui-ci peut à son tour être converti de manière réversible en $EP$, et la dissociation réversible du produit redonne la forme originale de l'enzyme « libre » avec $p$.

Les complexes $ES$ et $EP$ sont parfois appelés « complexes centraux »

Cependant, afin de simplifier l'algèbre, je vais dériver la loi de vitesse pour le mécanisme simplifié (et irréaliste) suivant contenant un seul complexe central.

Nous devons être très, très prudents ici. Cette hypothèse simplificatrice ne changera pas la forme globale du constante cinétique forme de la loi de taux, c'est-à-dire que les mécanismes (3) et (4) donneront lieu à l'équation (1), mais cela simplifiera la définition des constantes cinétiques.

Nous ne devons pas supposer que ces définitions simplifiées s'appliquent nécessairement à tout cas réaliste. Les définitions de $V_{max}^f$ (Eqn 10) et $V_{max}^r$ (Eqn 11), par exemple, contiennent une seule constante de vitesse mais celles du mécanisme de l'Eqn (3) sont plus complexes (Éqs 15 & 16).

Ainsi, des déclarations telles que « pour une concentration enzymatique unitaire, $k_{3,2}$ est égal à la vitesse maximale dans la direction avant » sont semées de difficultés. (Il est probablement valable de soutenir, au moins pour le type de mécanismes considérés ici, que « pour une concentration enzymatique unitaire, la vitesse maximale ne peut pas dépasser $k_{3,2}$ »).

Mais on s'éloigne. Revenons à la dérivation.

  • Soit $e_o$ la concentration totale en enzyme
  • Soit $x$ égal à la concentration de $ES$
  • La concentration de $E$ est donc ($e_o$ - $x$)

De plus, faisons deux hypothèses fondamentales (voir ici pour une grande explication de la méthode de l'état stationnaire en cinétique enzymatique).

  • Très peu de temps après le début de la réaction, un état stationnaire est établi de sorte que le taux de formation de $x$ est égal au taux de décomposition de $x$. C'est l'hypothèse de régime permanent. (Ce qui se passe dans la période pré-stationnaire ne nous concerne pas ici).
  • La concentration de $e_o$ est si faible que la formation de $ES$ et $EP$ peut être ignorée dans le calcul des concentrations de substrat et de produit (cela simplifie aussi grandement l'algèbre)

L'équation différentielle suivante, qui décrit le taux de décomposition de $x$, peut maintenant s'écrire :

$$ {dxover dt} = {k_{1,2} (e_o -x) s + k_{3,2} (e_o -x) p - (k_{2,1} + k_{ 2,3}) x = 0} (5)$$

Résolvons pour $x$. Je vais être paresseux ici et permettre à Wolfram Mathematica de faire le travail.

(Une version plus détaillée du cahier Mathematica peut être trouvée ici).

La commande ci-dessus produit la sortie suivante (est-ce cool ?)

Définissons maintenant l'équation de vitesse en termes de $x$, en tenant compte de la réaction inverse

$$ {dpover dt} = {k_{1,2} x - k_{3,2} (e_o -x) p} (6)$$

Nous devons maintenant remplacer $x$ dans l'équation ci-dessus. Encore une fois, en utilisant Mathematica

Utiliser la substitution

la sortie suivante est obtenue :

C'est le constante de taux forme de la loi de taux peut être exprimée comme suit :

$$ {dpover dt} = { {(k_{1,2} k_{2,3} s - {k_{2,1} k_{3,2} p) e_o}} sur{{k_{1,2} s} + k_{2,1}+ k_{2,3}+{k_{3,2} p}}} (7)$ $

Le « truc » consiste maintenant à définir les constantes cinétiques de telle sorte que le plus utile constante-cinétique la forme de la loi sur les taux peut être obtenue.

Définissons les constantes cinétiques comme suit

$$K_{m}^s = {{k_{2,1} + k_{2,3}}over{k_{1,2}}} (8)$$

$$K_{m}^p = {{k_{2,1} + k_{2,3}}over{k_{3,2}}} (9)$$

$$ k_{cat}^f = {{V_{max}^f}over{e_o}} = k_{2,3} (10)$$

$$ k_{cat}^r = {{V_{max}^r}over{e_o}} = k_{2,1} (11) $$

En divisant l'équation (7) 'au-dessus et en dessous' par ($ {k_{1,2} + k_{2,3}}$) donne l'expression suivante :

La substitution des valeurs des constantes cinétiques dans l'expression ci-dessus conduit logiquement à ce qui suit constante-cinétique forme de la loi tarifaire :

$$ v = { {({{k_{cat}^f}over{K_{m}^s}} s -{{k_{cat}^r}over{K_{m}^p} } p) e_o }over{1 + {{s}over{K_{m}^s}} + {{p}over{K_{m}^p}}}} (12)$$

Constantes cinétiques pour un mécanisme plus réaliste

La définition des constantes cinétiques pour le mécanisme plus réaliste de l'équation (3) est la suivante : (voir ici pour la dérivation Mathematica).

En général, des mécanismes différents peuvent donner lieu à une loi de taux identique.

Le mécanisme suivant donnera également lieu à l'équation (1).

En fait, l'ajout d'un nombre quelconque de complexes centraux au mécanisme de l'Eqn (3) donnera lieu à une loi de vitesse sous la forme de l'Eqn (1).

Une extension du mécanisme Michaelis-Menten

Voici un mécanisme qui habitude donner lieu à une loi de taux comme indiqué dans l'équation (1) :

Dans le mécanisme ci-dessus, la forme de l'enzyme « libre » générée lors de la libération du produit ($F$) est différente de celle qui se combine avec le substrat ($E$), et souligne qu'il peut être nécessaire de prendre en compte leur inter-conversion dans toute description complète d'une enzyme à un seul substrat et à un seul produit (voir Taraszka & Alberty, 1964).

La loi de vitesse de ce mécanisme contient une constante cinétique supplémentaire, appelée ici $K_{sp}$ $$ v = { {({{k_{cat}^f}over{K_{m}^s}} s -{{k_{cat}^r}over{K_{m}^p}} p) e_o }over{1 + {{s}over{K_{m}^s}} + {{ p}over{K_{m}^p}} + {{sp}over{{K_{sp}}}}}} (19)$$

Ce mécanisme pourrait, par exemple, décrire le transport membranaire où $F$ représente le porteur à l'intérieur de la membrane et $E$ représente le porteur à l'extérieur. Mais cela pourrait également s'appliquer à n'importe quelle enzyme à substrat unique et à produit unique. Cela souligne à nouveau le danger d'une simplification excessive.

La loi de taux d'Eqn (19) est bien revue par Darvey (1972), et le pdf est librement accessible à tous.

Dernières pensées…

Au fur et à mesure que le nombre d'espèces enzymatiques augmente, l'obtention de la forme constante de vitesse de la loi de vitesse devient difficile, car les équations accumulent très rapidement de nombreux termes. Avant les jours de Mathématique et similaires, les enzymologues ont utilisé la méthode schématique de King et Altman (1956), ou l'une de ses nombreuses variantes, pour obtenir la forme constante de vitesse de la loi de vitesse.

Alors, quels sont les avantages de dériver la forme constante cinétique de la loi à plein régime ?

  • Si la réaction est manifestement réversible, elle peut être étudiée dans les deux sens

  • Pour une enzyme multi-substrats, les équations d'inhibition du produit s'écrivent facilement.

  • Il permet d'obtenir une relation (ou des relations) entre les constantes cinétiques et la constante d'équilibre. Pour le mécanisme réversible de Michaelis-Menten des équations (3) et (4), la relation Haldane est la suivante :

$$ K = {{k_{cat}^f k_{m}^p }over{k_{cat}^r k_{m}^s }} (20)$$

où $K$ est la constante d'équilibre de la réaction (Haldane, 1930)

Les références

  • Cuisinier, P.F. & Cleland, W.W (2007) Cinétique et mécanisme enzymatique Science de la guirlande.
  • Cornish-Bowden (2004) Principes fondamentaux de la cinétique enzymatique 3e éd. Portland Press (Londres)
  • Darvey, I. G. (1972) L'application d'études d'inhibition de produit à des réactions enzymatiques à un substrat et à un produit. Biochem J. 128, 383 - 387 [pdf]
  • Haldane, JBS (1930) Enzymes Longmans (Londres)
  • King, E.L. & Altman, C. (1956). Une méthode schématique pour dériver les lois de vitesse pour les réactions catalysées par des enzymes. J. Phys. Chimie. 60, 1375 - 1378
  • Peller, L. & Alberty, R. A. (1959). Intermédiaires multiples dans la cinétique enzymatique à l'état d'équilibre. I. Le mécanisme impliquant un seul substrat et produit. Confiture. Chem. Soc. 81, 5907 - 5915
  • Segel, I.H. (1975) Cinétique enzymatique. Comportement et analyse des systèmes à équilibre rapide et à régime permanent Wiley

  • Taraszka, M. & Alberty, R.A. (1964). Extensions de la loi de vitesse à l'état stationnaire pour la réaction de fumarase. J. Phys. Chem. 68, 3368 - 3373.


La dérivation de l'équation mentionnée par TomD dans les commentaires :

$$ v = {{{{V_{s}^f}[s]over{K_{m}^s}}-{{V_{p}^f}[p]over{K_{m}^ p}}}over{1 + {{[s]}over{K_{m}^s}} + {{[p]}over{K_{m}^p}}}}$$

peut être trouvé ici. Cette formule suppose une réaction en trois étapes. Cette équation utilise le produit comme variable dans l'équation. Idéalement, puisqu'il n'y a pas de formation/dégradation des réactifs/produits (système fermé), le produit peut être représenté en fonction des autres variables ($ce{[S0] -[ES] -[S]}$) . En bref, la vitesse de formation du produit peut être simplement représentée en fonction de la concentration du substrat.

Ce que je vais montrer n'est pas une dérivation complète mais une approche avec laquelle vous pouvez commencer.

Pour cette réaction réversible en deux étapes :

$$ce{E + S <=>[k_1][k_2] I <=>[k_3][k_4] E + P}$$

Vous auriez le système des EDO :

$ dfrac{dce{[E]}}{dt}=-k_1ce{[E][S]} + (k_2+k_3)ce{[I]} -k_4ce{[E] [P]} dfrac{dce{[I]}}{dt}=quad k_1ce{[E][S]} - (k_2+k_3)ce{[I]} +k_4 ce{[E][P]} dfrac{dce{[S]}}{dt}= -k_1ce{[E][S]} + k_2ce{[I]} dfrac{dce{[P]}}{dt}= -k_4ce{[E][P]} + k_3ce{[I]} $

En supposant QSSA pour $ce{[I]}$ (et donc aussi $ce{[E]}$) et en définissant $ce{[E]} = ce{[E0] -[I]}$, tu auras:

$$ce{[I]}=frac{ce{[E0]}(k_1ce{[S]}+k_4ce{[P]})}{k_2+k_3+k_1ce{[ S]}+k_4ce{[P]}}$$

Puisque $ce{[P]}=ce{[S0] -[I] -[S]}$, l'équation pour $ce{[I]}$ montrée ci-dessus, deviendra quadratique lorsque vous substituez cette relation . Cette expression peut être finalement branchée sur la quatrième ODE pour obtenir l'expression du taux de formation de produit, purement en termes de substrat.

Si vous conservez product en tant que variable, vous pouvez remplacer l'expression ci-dessus par $ce{[I]}$ dans le quatrième ODE.

$$V=-k_4ce{[P]}left(ce{[E0]} - frac{ce{[E0]}(k_1ce{[S]}+k_4ce{[P ]})}{k_2+k_3+k_1ce{[S]}+k_4ce{[P]}} ight) +k_3frac{ce{[E0]}(k_1ce{[S] }+k_4ce{[P]})}{k_2+k_3+k_1ce{[S]}+k_4ce{[P]}}$$

Certains réarrangements algébriques donneront :

$$V=ce{[E0]}frac{k_3k_1ce{[S]}+k_4k_2ce{[P]}}{k_2+k_3+k_1ce{[S]}+k_4ce{ [P]}}$$

En divisant à la fois le numérateur et le dénominateur par $k_2+k_3$, on obtient :

$$V=ce{[E0]}frac{frac{k_3k_1}{k_2+k_3}ce{[S]}+frac{k_4k_2}{{k_2+k_3}}ce{[P] }}{1+frac{k_1}{k_2+k_3}ce{[S]}+frac{k_4}{k_2+k_3}ce{[P]}}$$

C'est la forme d'équation mentionnée par TomD (créez simplement de nouvelles constantes à partir des anciennes).

Pour plus de détails, consultez cet article de Keleti [1] et les autres journaux le citant.


[1] Keleti, T. "Deux règles de cinétique enzymatique pour les mécanismes réversibles de Michaelis-Menten." Lettres FEBS 208.1 (1986): 109-112.


Biochimie : équation de Michaelis-Menten

Pour une réaction catalysée par une enzyme donnée, la constante de Michaelis est de 0,6 mM et la concentration du substrat est de 1,0 mM. Quelle est la saturation fractionnaire de l'enzyme dans ces conditions ?

La saturation fractionnelle d'une enzyme est définie comme la quantité d'enzyme liée au substrat divisée par la quantité totale d'enzyme. Pour calculer la saturation fractionnaire, nous aurons besoin d'utiliser l'équation de Michaelis-Menton :

De plus, nous devrons définir le taux et le taux maximum en termes de concentrations d'enzymes :

À partir des équations ci-dessus, nous pouvons calculer la saturation fractionnaire de l'enzyme :

Exemple de question n°1 : équation de Michaelis Menten

Laquelle des affirmations suivantes est vraie à propos de la constante de Michaelis pour une enzyme donnée ?

Il est indépendant du type de substrat

Il augmente à mesure que la spécificité de l'enzyme pour le substrat diminue

Aucune des autres réponses n'est vraie

Il augmente à mesure que l'affinité de l'enzyme pour le substrat diminue

Il augmente à mesure que l'affinité de l'enzyme pour le substrat diminue

La constante de Michaelis, , n'est pas égale à , mais correspond plutôt à la concentration du substrat lorsque la vitesse de réaction est . est une mesure inverse de l'affinité d'un substrat pour l'enzyme. Alors que l'affinité diminue, augmente. La spécificité enzymatique est mesurée par une constante différente, la constante de spécificité. Bien que et la spécificité soient dans une relation inversement proportionnelle, n'augmente pas nécessairement lorsque la spécificité diminue plutôt, , également connu sous le nom de constante catalytique, pourrait diminuer proportionnellement pour une enzyme donnée. La constante de Michaelis, étant une mesure d'affinité, va différer pour différents types de substrats, en fonction de leur forme et d'autres caractéristiques qui influencent leur capacité à se lier à une enzyme.

Exemple de question n°1 : équation de Michaelis Menten

Quel est le rapport de quand ?

Cette question est répondue en utilisant l'équation de Michaelis-Menten :

Réorganisez l'équation pour trouver le rapport d'intérêt.

Exemple de question n°1 : équation de Michaelis Menten

Que suppose le modèle Michaelis-Menten ?

Le complexe enzyme-substrat se décompose en produit uniquement

L'étape de limitation de débit peut ne pas être présente

Aucun intermédiaire n'est formé

Il n'y a pas de réactions catalysées par des enzymes

l'enzyme, le substrat et le complexe enzyme-substrat sont en équilibre

l'enzyme, le substrat et le complexe enzyme-substrat sont en équilibre

Dans ce modèle, un intermédiaire est formé lorsque le substrat se lie à une enzyme. L'intermédiaire se décompose en une enzyme et un produit, pas seulement le produit seul. Le modèle nécessite des réactions catalysées par une enzyme qui incluent une étape limitant la vitesse du complexe enzyme-substrat se décomposant en l'enzyme et le produit.

Exemple de question #5 : Équation de Michaelis Menten

Étant donné une enzyme de 0,5 mM. à quelle concentration de substrat la vitesse de l'enzyme atteindra-t-elle le ?

Pour résoudre cela, nous avons besoin de la solution de l'équation de Michaelis-Menten :

Nous connaissons les informations suivantes :

Branchez ces chiffres et résolvez la concentration du substrat.

Exemple de question n°1 : équation de Michaelis Menten

Supposons qu'un mélange d'enzymes contienne une enzyme avec une constante de Michaelis de . Si la concentration de substrat dans ce mélange est , quelle est la saturation fractionnelle de ce mélange d'enzymes ?

Cette question nous demande de déterminer la saturation fractionnaire d'une solution contenant l'enzyme et le substrat. Commençons par considérer ce que nous avons et ce que nous essayons de résoudre.

Nous savons que la concentration du substrat est et nous savons également que cette enzyme a une constante de Michaelis de .

Considérons également ce qu'est la saturation fractionnaire. La saturation fractionnelle fait référence à la proportion de molécules d'enzyme dans une solution qui sont liées au substrat. Cette valeur peut aller de (toutes les enzymes ne sont pas liées au substrat) à (toutes les enzymes sont liées au substrat ou saturées de celui-ci).

Ainsi, nous cherchons à calculer le nombre de complexes enzyme-substrat divisé par la quantité totale d'enzyme en solution, que nous pouvons exprimer par . Nous pouvons également relier ces termes par les équations suivantes.

En divisant ces équations l'une par l'autre, on obtient :

De plus, nous pouvons relier ces termes en considérant l'équation de Michaelis-Menten :

Et en combinant tout ce que nous avons fait jusqu'à présent, nous avons :

Et en branchant des valeurs, nous pouvons résoudre :

Exemple de question n°7 : équation de Michaelis Menten

Lequel des énoncés suivants est faux à propos de l'équation de Michaelis-Menten ?

La vitesse est proportionnelle à la concentration du substrat.

La vitesse est proportionnelle au chiffre d'affaires.

La vitesse est inversement proportionnelle à la concentration enzymatique.

La vitesse maximale de réaction est atteinte lorsque la concentration du substrat augmente indéfiniment.

La vitesse est proportionnelle à la concentration en enzyme.

La vitesse est inversement proportionnelle à la concentration enzymatique.

L'équation de Michaelis-Menten peut être exprimée par :

La vitesse est donc proportionnelle à la concentration en enzyme, et non l'inverse. est également appelé numéro de chiffre d'affaires. Au fur et à mesure que la concentration du substrat augmente, nous nous retrouvons avec un état stable dans lequel toute l'enzyme est liée. À ce stade, la vitesse maximale, , a été atteinte.

Exemple de question n°8 : équation de Michaelis Menten

Une enzyme avec une valeur de a une vitesse de réaction de à une concentration de substrat de . Quelle est la vitesse de réaction maximale que cette enzyme peut atteindre lorsqu'elle est saturée de substrat ?

Pour cette question, on nous fournit la constante de michaelis pour une enzyme, ainsi que la vitesse de réaction de cette enzyme à une concentration de substrat particulière. On nous demande de déterminer la vitesse de réaction maximale possible que cette enzyme peut atteindre lorsqu'elle est saturée de substrat.

Pour résoudre ce problème, nous aurons besoin d'utiliser l'équation de michaelis-menten, qui s'exprime comme suit.

Ensuite, nous pouvons réarranger l'équation ci-dessus afin d'isoler le terme.

Maintenant, nous pouvons brancher les valeurs qui nous sont données dans la tige de la question afin de résoudre notre réponse.

Exemple de question n°9 : équation de Michaelis Menten

Lequel des éléments suivants augmentera la vitesse de réaction d'une réaction enzymatique ?

I. Ajout d'un inhibiteur compétitif

II. Augmenter la concentration du substrat

III. Diminution de l'affinité du substrat pour l'enzyme

La vitesse de réaction d'une réaction enzymatique peut être calculée en utilisant l'équation de Michaelis-Menten.

où est la vitesse de réaction, est la vitesse de réaction maximale, est la concentration du substrat et est la constante de Michaelis.

Rappelez-vous que l'ajout d'un inhibiteur compétitif augmentera le . À partir de l'équation, nous pouvons voir que l'augmentation diminuera la vitesse de réaction, par conséquent, l'ajout d'un inhibiteur compétitif diminuera la vitesse de réaction.

La concentration de substrat se trouve à la fois au numérateur et au dénominateur de l'équation, cependant, la concentration de substrat est multipliée dans le numérateur alors qu'elle est ajoutée au dénominateur. Cela signifie que l'augmentation de la concentration du substrat augmentera le numérateur plus que le dénominateur. Par conséquent, l'augmentation de la concentration du substrat augmentera la vitesse de réaction.

L'affinité entre l'enzyme et le substrat est déterminée par . Cette constante est définie comme la concentration de substrat nécessaire pour atteindre la moitié de la . L'abaissement suggère qu'une concentration de substrat inférieure est nécessaire pour atteindre la même moitié (une concentration de substrat inférieure est nécessaire car l'affinité entre l'enzyme et le substrat augmente et une réaction plus efficace est effectuée). Cela implique que l'abaissement augmente donc l'affinité entre le substrat et l'enzyme, et l'affinité est inversement liée. La diminution de l'affinité augmentera la vitesse de réaction et, par la suite, diminuera.

Exemple de question n°1 : équation de Michaelis Menten

Quelle est la vitesse de réaction maximale si l'ajout de substrat produit une vitesse de réaction de ?

Ne peut pas être déterminé à partir des informations fournies

L'astuce pour cette question est de remarquer que la concentration en substrat et la concentration en substrat sont les mêmes. Rappelons qu'il s'agit de la concentration de substrat nécessaire pour atteindre la moitié de la vitesse de réaction maximale. Étant donné que l'on nous dit que la concentration du substrat et est la même, nous pouvons conclure que cette vitesse de réaction est la moitié de la vitesse de réaction maximale. Par conséquent, la vitesse de réaction maximale est .

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Est-il possible de dériver l'équation de Michaelis-Menten dans des conditions où la formation du produit est réversible - Biologie

Km sur &ndash, vous pouvez vraiment penser que je pourrais parler d'enzymes sans Menten-ing ENZYME KINETICS, n'est-ce pas ? Du lysozyme lent, qui prend 2 secondes entières pour couper une protéine, à l'anhydrase carbonique incroyablement rapide, qui peut combiner le CO2 avec de l'eau pour faire de l'acide carbonique et ndash ou faire l'inverse et ndash 1 MILLION DE FOIS PAR SECONDE (10 millions de fois plus vite que cela se produirait tout seul), je les aime tous. Et aucune lettre d'amour pour ces incroyables tiges à réaction biochimique ne pourrait être complète sans une discussion sur la vitesse à laquelle ils peuvent aller, ce qui détermine cette vitesse et comment nous pouvons la mesurer. Aujourd'hui, nous passons en revue, puis nous sortons de la thermodynamique pour examiner la question séculaire : combien de bâtons un bâton-casseur pourrait-il casser si un bâton-casseur pouvait casser des bâtons ? Et pour cela nous avons besoin de cinétiques !

Vous pouvez en apprendre BEAUCOUP plus sur les enzymes dans le post d'hier : http://bit.ly/2r7x40l

Mais fondamentalement, les enzymes sont des catalyseurs biochimiques et les catalyseurs sont des choses qui accélèrent les réactions sans être épuisées dans le processus (donc une fois qu'elles ont accéléré une réaction, elles peuvent en accélérer une autre, puis une autre, puis une autre) et vous pouvez trouver des catalyseurs partout la place &ndash même dans vos voitures (le convertisseur catalytique vous dit quelque chose ?) &ndash et &ldquoenzyme&rdquo est le nom que nous donnons aux catalyseurs que nous trouvons dans notre corps.

Les enzymes sont généralement des protéines, parfois des complexes protéine/ARN, et parfois simplement de l'ARN. Ils aident les réactions biochimiques à se produire, de la division des molécules (par exemple, la décomposition du sucre en parties plus petites pour l'énergie) à l'assemblage de molécules (par exemple, les ruptures de scellement de l'ADN ligase dans les brins d'ADN) en passant par le "décalage des molécules" (par exemple, les complexes de remodelage de la chromatine déplaçant l'ADN des protéines histones). est enroulé (pour gagner de la place) afin de révéler les régions à lire).

Bien que ces processus puissent être très complexes et nécessiter beaucoup de coordination, ils pourraient tous se produire sans enzymes, car ils ont la capacité biochimique de le faire. Il serait tout simplement très peu probable qu'ils se produisent parce que vous devez avoir des molécules en itinérance libre qui entrent en collision avec la bonne orientation avec les bonnes conditions, etc.

Ce &ldquodrive&rdquo biochimique est un changement négatif de l'énergie libre (G). J'aime penser à G comme un &lquoconfort&rdquo &ndash &ndash imaginez que vous prenez une photo &ndash il faut de l'énergie pour tenir une pose inconfortable (les molécules inconfortables ont un G élevé) alors que vous pouvez vous détendre s'ils veulent juste une photo franche (les molécules confortables ont un faible G). Je ne sais pas pour vous, mais je déteste ces photos de fromage et je préférerais de loin être à l'aise.

Et les molécules aussi. Ainsi, ils réagissent et interagissent de manière à les placer dans une position plus confortable (G inférieur) - les réactions > sont énergétiquement favorables si le ou les produits P ont MOINS d'énergie libre (G inférieur) que les réactifs (R), et nous pouvons appelez cette différence d'énergie libre entre les produits et les réactifs &DeltaG (&Delta se prononce &ldquodelta&rdquo et cela signifie &ldquochange in&rdquo). Avec les réactions catalysées par des enzymes, nous appelons généralement les réactifs SUBSTRATS (S) &ndash comme dans, &ldquotthing&rdquo est un substrat pour &ldquocool enzyme.&rdquo Nous pouvons donc écrire la réaction globale sous la forme

Toutes les réactions n'ont pas un &DeltaG négatif, mais vous pouvez coupler les réactions défavorables aux réactions favorables pour faire le travail. C'est l'une des raisons pour lesquelles certaines enzymes utilisent l'ATP et la division de l'ATP. L'ATP libère beaucoup d'énergie.

Même lorsqu'une réaction est vraiment favorable &ndash les produits sont bien plus confortables que les réactifs, donc il&rsquos un &DeltaG très négatif, il doit souvent aller dans un état vraiment inconfortable pour y arriver &ndash nous appelons cet état le plus inconfortable (énergie la plus élevée) l'état de transition (⧧). Imaginez que vous essayez de casser un bâton en deux (par souci d'analogie, prétendez qu'il est perforé au centre de sorte qu'il n'y a qu'un seul point d'arrêt possible). Donc, vous commencez à plier le bâton et cela devient de plus en plus difficile et le point de transition serait ce moment vraiment tendu juste avant que le bâton ne se brise (si vous pensez que vos bras sont douloureux, imaginez comment le bâton se sent !). C'est à cet état de transition (TS) que l'enzyme serre le substrat le plus étroitement et ndash ainsi elle attire en quelque sorte le substrat dans l'adoption de cette position inconfortable et l'inconfort car le substrat & ldquobends & rdquo est compensé par des interactions positives avec l'enzyme que la flexion permet.

Nous pouvons comprendre les changements d'énergie au cours d'une réaction avec un DIAGRAMME DE COORDONNÉES DE RÉACTION. Cela me rappelle un arc-en-ciel en forme de canne à sucre avec un pot d'or au fond et vous devez franchir l'arc-en-ciel avant de pouvoir atteindre l'or. Le sommet de l'arc-en-ciel est l'énergie de l'état de transition et l'énergie nécessaire pour y arriver est l'énergie d'activation. Les enzymes fournissent un état de transition alternatif avec un arc-en-ciel plus court, une énergie d'état de transition plus faible signifie une énergie d'activation plus faible, donc il y a moins de barrière pour que la réaction se produise. Mais comme les points de départ et d'arrivée sont les mêmes, le &DeltaG global de la réaction est le même, qu'il soit catalysé par une enzyme ou non.

Lorsque vous avez une quantité comme celle-ci où vous ne vous souciez que du début et de la fin & ldquostates et non de la route empruntée, nous l'appelons une & ldquostate propriété. & rdquo ne change pas ce moteur & ndash il ne choisit pas si la réaction se produira ou non & ndash et lorsque vous abaissez la barrière, vous facilitez le & ldquogo en arrière & rdquo aussi, de sorte que les enzymes ne modifient pas les constantes d'équilibre & ndash si vous commencez avec la même quantité de réactif que vous finissez par atteignent la même quantité de produit formé (même si vous devez attendre des milliards d'années), mais ils affectent les taux de réaction et vous n'avez donc pas à attendre des milliards d'années, mais combien de temps devez-vous attendre ? Pour comprendre cela, nous passons de la matière thermodynamique dont nous avons parlé qui traite de la favorabilité de la réaction à la cinétique, qui traite des vitesses (vitesse de réaction, v).

Une réaction est aussi rapide que son étape la plus lente, et vous pouvez diviser une réaction en quelques étapes : lier (E+S ⇌ ES), modifier (ES⇌EP) et relâcher (EP⇌E+P). Par souci de simplicité, disons que la réaction est vraiment favorable donc il est peu probable qu'elle aille dans le sens inverse (vous ne changerez pas de produit en substrat). (Même si la réaction recule, si vous mesurez la cinétique au tout début, lorsqu'il n'y a aucun produit à retransformer en substrat, vous pouvez ignorer l'inverse). Ensuite, nous pouvons supprimer quelques-unes de ces flèches vers l'arrière afin que nous ayons

lier (E+S ⇌ ES), modifier (ES->EP), & release (EP->E+P)

Vous pouvez voir que je n'ai pas enlevé cette première flèche en arrière car l'étape de liaison est toujours réversible et le sens de l'équilibre (est E + S ou ES plus favorisé) dépend de l'affinité (adhérence) des 2 l'un pour l'autre. Et même si nous supposons que vous *pouvez* uniquement utiliser ES->EP (et pas l'inverse), cela ne signifie pas que vous *faire* ce changement. Si vous pensez aux choses de manière aléatoire (probabiliste), chaque fois qu'un substrat entre en collision avec une enzyme, il a une chance de coller et à chaque fois qu'il colle, il a une chance de se convertir en produit. La vitesse à laquelle la réaction se produira dépend :

  • quelle est la probabilité que E & S entre en collision (dépend de leurs concentrations et de la quantité d'énergie dont ils disposent)
  • quelle est la probabilité que les E & amp S collent (dépend de leur adhérence & ldquoaffinité & rdquo les uns pour les autres)
  • quelle est la probabilité que S se convertisse (dépend de la hauteur de la barrière d'activation et de la durée pendant laquelle le substrat y reste collé pour qu'il puisse &ldquokeep essayer&rdquo)

Vous avez également l'étape de libération, mais, à l'exception de certains cas étranges, cela n'est généralement pas un retard, nous combinons donc les étapes de modification et de libération dans ES -> E + P. Nous avons donc maintenant 2 étapes, lier (E+ S ⇌ ES) & change/release (ES -> E + S) and each of these can happen at different speeds

We can give each step a rate constant, k. It&rsquos &ldquoconstant&rdquo in terms of it not being affected by concentrations because it&rsquos an inherent property of the molecules, but it *is* affected by differences in the environment (pH, etc.) so it&rsquos specific for a specific reaction under specific conditions.

So, how many sticks could a stick-snapper snap if a stick-snapper could snap sticks? To &ldquoanswer&rdquo this let&rsquos turn to Michaelis-Menten kinetics.

Say you want to figure out how fast a snapper can snap sticks &ndash if you took a single stick-snapper, give her some sticks, set a timer for 60 seconds, then counted how many sticks she snapped, you could divide that by the time to get sticks snapped per second per snapper. This is equivalent to a kinetic constant called kcat (aka &ldquoturnover number&rdquo) which tells you how many substrate molecules a single enzyme can convert to product per unit time (usually seconds) &ndash as long as there were enough sticks!

If you have a huge excess of sticks, (S >>>> E), you don&rsquot have to worry about running out, so the speed you observe isn&rsquot affected by [S] (concentration of substrate) and each enzyme molecule can work at kcat (each time the snapper snaps a stick there&rsquos another stick there to snap). But if you don&rsquot have a big excess, the substrate all gets used up, so it can only work its fastest in the very beginning of the reaction, right after you mix E & S.

Well, not quite *right* at the beginning. At the very very beginning (we&rsquore usually talking the first couple milliseconds) you have to fill up the enzymes &ndash the snapper has to grab their first stick, so you have a burst of ES formation, but they haven&rsquot had time to snap the sticks yet so product formation starts slow thanks to this lag as the snappers snatch sticks. We call this brief start-up phase the PRE-STEADY STATE.

As the name implies, it&rsquos followed by the STEADY STATE &ndash and this is where kinetic measurements are usually taken. In fact, in Michaelis-Menten kinetics we make a &ldquosteady state assumption&rdquo &ndash basically we assume that ES is at equilibrium &ndash you know how I said E+S⇌ES was reversible &ndash well, equilibrium is where the *rates* of the forward (E+S -> ES) & reverse (ES -> E+S) reactions are the same &ndash this doesn&rsquot mean that you have the same amount of S bound as unbound, it just means that the amount that&rsquos bound vs. unbound isn&rsquot changing (for every snapper that drops a stick another snapper picks one up).

Initially none was bound and in the pre-steady state the ES vs. E+S was changing as S now had the option of binding. But eventually you reach a dynamic equilibrium where, for every S that gets released or converted, another one binds. This is usually reached within microseconds & is what you measure when you measure the &ldquoinitial velocity&rdquo (vo)

But it can only bind if there&rsquos still S left to bind! And S isn&rsquot just binding &ndash it&rsquos also &ldquodissappearing&rdquo because it gets converted into products (and you can&rsquot snap an already snapped stick!). So you enter the POST-STEADY STATE where the substrate starts getting used up, fewer ES complexes can form (poor snappers left stickless) and less product can form

kcat was looking at a a single snapper &ndash but it&rsquos not easy to measure a single enzyme molecule because these guys are really tiny and you usually have a ton of them &ndash so instead of dealing with single molecules you&rsquore dealing with mols of molecules. The mol is the biochemist&rsquos &ldquodozen&rdquo &ndash it just means 6.02×10^23 of something.

So now we can imagine a ton of identical snappers, and the amount of sticks snapped depends on how well each snapper can snap sticks (kcat) AND how many snappers there are (enzyme concentration, [E]).

Instead of finding the maximum rate per snapper, you first find the maximum velocity of product formation (Vmax) for a group of snappers, and then you take the # of snappers into account.

Vmax = kcat[E]o, where [E]o is enzyme concentration

But &ldquoturnover rate&rdquo isn&rsquot all you care about. How good of a grip does the snapper have on the stick? Is it really a good match? When you have way more substrate than enzyme, the enzyme&rsquos constantly getting bombarded with substrate, so even if it doesn&rsquot like the substrate that much it&rsquos still bound most of the time because every time it lets go there&rsquos another substrate molecule waiting to jam itself in. So you can&rsquot tell if the substrate is actually a really good match for the enzyme.

But if you have lower substrate concentrations, if an enzyme releases a substrate molecule it&rsquos less likely to quickly find another molecule to collide with. So, when those rarer collisions do occur stickiness will matter more &ndash if they don&rsquot stick they&rsquoll have to wait for another one &ndash and you&rsquoll have to wait for product.

How do we take this into account when &ldquoscoring&rdquo enzymes &ndash enter the MICHAELIS-MENTEN CONSTANT (Km). I&rsquom gonna derive this in the pics for you so you can see how it comes from the rate constants and concentrations (sorry for sloppy formatting &ndash I&rsquom tired). Km is the substrate concentration at which product formation is at 1/2 it&rsquos maximal speed (so 1/2 Vmax).

You usually find it by measuring Vo (that initial rate of product formation) at multiple concentrations of the substrate (another chance to use those serial dilutions!). Then you plot substrate concentration on the horizontal axis & reaction rate on the vertical axis. Do this and (often) you&rsquoll get a ,- like curve &ndash a parabola that starts steep and then plateaus. Enzymes that give curves like this obey Michaelis-Menten kinetics.

It starts steep (but slow) because at there&rsquos more than enough enzyme to quickly change all the substrate into product but then substrate runs out (too many snappers, too few sticks) But as the substrate concentration increases, the enzyme gets saturated &ndash each enzyme is working its hardest, but it can only go so fast &ndash the enzyme becomes limiting (too many sticks, too few snappers). The height at which the curve plateaus is called the maximum velocity (Vmax) and the substrate concentration at which the curve gets halfway to Vmax is called the Km.

This Vmax depends on enzyme concentration (which is why we adjust it to get kcat), but Km doesn&rsquot depend on enzyme concentration, just on how well the enzyme likes the substrate. It&rsquos not quite this simple, but, in general terms & typical cases

lower Km -> better binder (higher affinity for substrate)

higher Km -> worse binder (lower affinity for substrate)

higher kcat -> better changer

lower kcat -> worse changer

If you want a good idea about how &ldquogood&rdquo an enzyme is overall for a particular substrate, you need to know how well it binds substrate & how well it changes it. So you combine those 2 measures to get another value, the &ldquospecificity constant&rdquo (aka &ldquocatalytic efficiency&rdquo) which = kcat/Km

You know how I said &ldquosometimes&rdquo you&rsquoll get a parabola? Well, other times you&rsquoll have enzymes where when you make that graph you&rsquoll get an S-shaped curve. This usually implies that you have an &ldquoAllosteric enzyme&rdquo &ndash allostery is where something happens somewhere on the molecule that changes something elsewhere on the molecule. Allosteric enzymes usually have multiple active sites and when substrate binds one of them it makes it easier for the other active sites to bind substrate, so you get cooperativity and see a switch-like transition.

Maud Menten & Leonor Michaelis published their formula in 1913. Maud was a pretty amazing scientist &ndash Born in Canada in 1879, Maud became one of that country&rsquos first female medical doctors, but there were limited opportunities in Canada for a woman to pursue a research career, so she moved to the US, where she worked at the Rockefeller Institute, researching the effects of radium on tumors, before emigrating to Germany to work with Michaelis. After her groundbreaking work there, she moved back to the US to obtain a PhD at the University of Chicago and went on to work as a professor and pathologist at the University of Pittsburgh and a research fellow at the British Columbia Medical Research Institute. Menten also had a full life outside of the lab &ndash in addition being a brilliant biochemist and histologist, she was also a skilled musician and artist and she spoke 6 languages! Menten passed away in 1960, but her name will forever be synonymous with enzyme kinetics.


Is it possible to derive the Michaelis-Menten equation under conditions where the product formation is reversible - Biology

The Michaelis-Menten model (1) is the one of the simplest and best-known approaches to enzyme kinetics. It takes the form of an equation relating reaction velocity to substrate concentration for a system where a substrate S binds reversibly to an enzyme E to form an enzyme-substrate complex ES, which then reacts irreversibly to generate a product P and to regenerate the free enzyme E. This system can be represented schematically as follows:

The Michaelis-Menten equation for this system is:

Ici, Vmax represents the maximum velocity achieved by the system, at maximum (saturating) substrate concentrations. KM (the Michaelis constant sometimes represented as KS instead) is the substrate concentration at which the reaction velocity is 50% of the Vmax. [S] is the concentration of the substrate S.

This is a plot of the Michaelis-Menten equation s predicted reaction velocity as a function of substrate concentration, with the significance of the kinetic parameters Vmax et KM graphically depicted.

The best derivation of the Michaelis-Menten equation was provided by George Briggs and J.B.S. Haldane in 1925 (2), and a version of it follows:

For the scheme previously described, kau is the bimolecular association rate constant of enzyme-substrate binding kdésactivé is the unimolecular rate constant of the ES complex dissociating to regenerate free enzyme and substrate and kchat is the unimolecular rate constant of the ES complex dissociating to give free enzyme and product P.

Noter que kau has units of concentration -1 time -1 , and kdésactivé et kchat have units of time -1 . Also, by definition the dissociation binding constant of the ES complex, K est donné par kdésactivé/kau (and so has units of concentration).

Once these rate constants have been defined, we can write equations for the rates of change of all the chemical species in the system:

The last of these equations describing the rate of change of the ES complex is the most important for our purposes. Dans la plupart des systèmes, le ES concentration will rapidly approach a steady-state that is, after an initial burst phase, its concentration will not change appreciably until a significant amount of substrate has been consumed. Cette steady-state approximation is the first important assumption involved in Briggs and Haldane s derivation. This is also the reason that well-designed experiments measure reaction velocity only in regimes where product formation is linear with time. As long as we limit ourselves to studying initiale reaction velocities, we can assume that [ES] is constant:

In order to determine the rate of product formation ([P]/dt = kchat[ES]), we need to rearrange the equation above to calculate [ES]. We know that the free enzyme concentration [E] is equal to the total enzyme concentration [ET] minus [ES]. Making these substitutions gives us:

We now make a couple of substitutions to arrive at the familiar form of the Michaelis-Menten equation. Depuis Vmax is the reaction velocity at saturating substrate concentration, it is equal to kchat [ES] when [ES] = [ET]. We also define KM in terms of the rate constants as follows:

Note that [S] here represents the free substrate concentration, but typically is assumed to be close to the total substrate concentration present in the system. This second assumption is the free ligand approximation, and is valid as long the total enzyme concentration is well below the KM du système. If this condition is not met (for instance, with a very high-affinity substrate), then the quadratic (or Morrison ) equation must be used instead.

Comparant KM [= (kdésactivé + kchat)/kau] and K [= kdésactivé/kau], it is obvious that KM must always be greater than K. Michaelis and Menten assumed that substrate binding and dissociation occurred much more rapidly than product formation (kchat << kdésactivé, les rapid equilibrium approximation), and that therefore the KM would be very close to the K. Plus le kchat is relative to kdésactivé, the greater the difference between K et KM. Briggs and Haldane made no assumptions about the relative values of kdésactivé et kchat, and so Michaelis-Menten kinetics are a special case of Briggs-Haldane kinetics. The opposite extreme, where kchat >> kdésactivé, is called Van Slyke-Cullen behavior (3).


Applying the law of mass action, which states that the rate of a reaction is proportional to the product of the concentrations of the reactants, gives a system of four non-linear ordinary differential equations that define the rate of change of reactants with time t :

In this mechanism, the enzyme E is a catalyst, which only facilitates the reaction, so its total concentration, free plus combined, [ E ] + [ E S ] = [ E ] 0 > is a constant. This conservation law can also be obtained by adding the second and third equations above.

Equilibrium approximation

In their original analysis, Michaelis and Menten assumed that the substrate is in instantaneous chemical equilibrium with the complex, and thus k f [ E ] [ S ] = k r [ E S ] [E][S]=k_[ES]> . Combining this relationship with the enzyme conservation law, the concentration of complex is

Quasi-steady-state approximation

An alternative analysis of the system was undertaken by British botanist G. E. Briggs and British geneticist J. B. S. Haldane in 1925. They assumed that the concentration of the intermediate complex does not change on the time-scale of product formation — known as the quasi-steady-state assumption or pseudo-steady-state-hypothesis. Mathematically, this assumption means k f [ E ] [ S ] = k r [ E S ] + k c a t [ E S ] [E][S]=k_[ES]+k_ >[ES]> . Combining this relationship with the enzyme conservation law, the concentration of complex is

Assumptions and limitations

The first step in the derivation applies the law of mass action, which is reliant on free diffusion. However, in the environment of a living cell where there is a high concentration of proteins, the cytoplasm often behaves more like a gel than a liquid, limiting molecular movements and altering reaction rates. Whilst the law of mass action can be valid in heterogeneous environments, it is more appropriate to model the cytoplasm as a fractal, in order to capture its limited-mobility kinetics.

By contrast, the Briggs–Haldane quasi-steady-state analysis is valid if

Thus it holds if the enzyme concentration is much less than the substrate concentration. Even if this is not satisfied, the approximation is valid if K m > is large.

It is also important to remember that, while irreversibility is a necessary simplification in order to yield a tractable analytic solution, in the general case product formation is not in fact irreversible. The enzyme reaction is more correctly described as

In general, the assumption of irreversibility is a good one in situations where one of the below is true:
1. The concentration of substrate(s) is very much larger than the concentration of products:

This is true under standard in vitro assay conditions, and is true for many in vivo biological reactions, particularly where the product is continually removed by a subsequent reaction.
2. The energy released in the reaction is very large, that is

In situations where neither of these two conditions hold (that is, the reaction is low energy and a substantial pool of product(s) exists), the Michaelis–Menten equation breaks down, and more complex modelling approaches explicitly taking the forward and reverse reactions into account must be taken to understand the enzyme biology.


Rapid Equilibrium

Consider the following reaction mechanism for the enzyme-catalyzed conversion of substrate (S) into product (P) (we assume that the catalyzed rate is much greater than the noncatalyzed rate.)

As we did for the derivation of the equations for the facilitated transport reactions under rapid equilibrium conditions, this derivation is based on the assumption that the relative concentrations of (S), (E), and (ES) can be determined by the dissociation constant, (K_s), for the interactions and the concentrations of each species during the early part of the reaction (i.e., under initial rate conditions). Assume also the (S gg E_o). Remember that under these conditions, (S) does not change much with time. Is this a valid assumption? Examine the mechanism shown above. (S) binds to (E) with a second order rate constant (k_1).

(ES) has two fates: it can dissociate with a first order rate constant (k_2) to (S + E), or it can be converted to product with a first order rate constant of (k_3) to give (P + E). If we assume that (k_2 gg k_3) (i.e. that the complex falls apart much more quickly than S is converted to P), then the relative ratios of (S), (E), and (ES) can be described by (K_s). Alternatively, you can think about it this way. If (S) binds to (E), most of (S) will dissociate, and a small aM_ount will be converted to (P). If it does, then (E) is now free, and will quickly bind (S) and reequilibrate since the most likely fate of bound (S) is to dissociate, not be converted to (P) (since (k_3 ll k_2)). This also makes sense if you consider that the physical step characterized by (k_2) is likely to be quicker than the chemical step, characterized by (k_3). Hence the following assumptions have been used:

We would like to derive equations which show the velocity v as a function of the initial substrate concentration, (S_o), (assuming that (P) is negligible over the time course of measuring the initial velocity). Also assume that the (v_ gg v_). In contrast to the first-order reaction of (S) to (P) in the absence of E, (v) is not proportional to (S_o), but rather to (S_) as we described in class with facilitated diffusion (flux proportional to AR, not free A). Par conséquent,

[ v = ext , [ES] = k_3 [ES] label<1>]

where (v) is the velocity. How can we calculate ([ES]) when we know ([S]) (which is equal to (S_o)) and Etot (which is (E_o))? Let us assume that S is much greater than E, as is the likely biological case. We can calculate ([ES]) using the following equations and the same procedure we used for the derivation of the binding equation, which gives the equation below:


Path Y - External Food and Nutrients Supply

By rearranging MM equation (18), S = F(v)

We can deduce the differential of ([S]) with respect to v, (frac) , which is equal to t according to equation (21), thus we can obtain specific (_^ <^>) and (_^ <^>) values from

Then, the reaction rate is,

Both (_^ <^>) and (_^ <^>) at time t can be derived from equation (41) (Supplementary Method 4, Tables S6 and S18). We find that, similar to the earlier derivation, the differential and integral can be found precisely. For example, we sought to verify by multiplication of derivatives to determine exact values of (frac

) (Tables S7 and S19).

As before, we used equation (15), equation (14), and equation (13) to obtain the amounts of initial enzymes ([_<0>^ <^>]) , enzyme complexes [ES″], and [E″] (Tables S8 and S20, Figs S4, S9 and S11). The derived values were based on k2 et k1 valeurs. Notably, (_<1>^ <^>) did differ for each application, since derived ( >_) were different. In some cases, we find that v″ ≠ v et v″ < v. We get values of [E′] different to [E″] in all cases, because the latter could have been another set of enzymes produced from the nutrient/feed of substrate rather than the enzymes governed by the “body” mass, the entity. Now, we can combine both [E′] and [E″] as well as [ES′] and [ES″].


Enzyme Kinetics – Michaelis–Menten kinetics

In 1913, Linor Michaelis (1875-1949) and Maud Menten (1879-1960) put forward the enzyme-substrate complex theory. According, the enzyme (E) combines with the substrate(S), to form an enzyme-substrate(ES) complex, which immediately breaks down to the Enzyme and the Product (P).

The above reactions are assumed to be reversible. Ici k1, k2, k3, k4 are specific rate constants. Michelis-Menton equation is the rate equation for the reaction catalyzed by an enzyme having a single substrate. In this derivation that the Brigg’s et Halden.

  • Molar Concentration of [E] =Concentration of free (or) free (or) uncombined enzyme
  • [ES]=Concentration of Enzyme-Substrate complex
  • [Et]=Total enzyme concentration (the sum of the free and combined forms)
  • [S]=Concentration of Substrate
  • [P]=Concentration of Product

The substrate concentration is assumed to be far greater than the concentration of Enzyme [E]. So that the amount of substrate-bound by the enzyme at any given time is negligible. Compared with the total concentration of [S].

Systematic studies of the effect of substrate concentration on ionic enzyme activity began performing in the late nineteenth century.

Already in 1882, the concept of an enzyme-substrate complex as an intermediary in the process of enzymatic catalysis was introduced. In 1913, Leonor Michaelis (pictured left) and Maud Menten (pictured right) developed this theory and proposed a rate equation that explains the kinetic behavior of the enzyme.

To explain the observed relation between the initial velocity (v0) and the initial substrate concentration ([S]0) Michaelis and Menten proposed that the enzymatically catalyzed reactions occur in two phases :

  • The first phase: In the first step , the enzyme-substrate complex is formed.
  • Second Phase: The enzyme-substrate complex results in the formation of the product, releasing the free enzyme.

In this scheme, k 1 , k 2 and k 3 are constants each individual kinetics of the process and also are called microscopic rate constants . Accordingly, we can say that:

One can distinguish between free enzyme (E) and attached to the enzyme substrate (S), so that the total concentration of enzyme , [E T ], (which is constant throughout the reaction) is:

As [E] = [ET] – [ES], it follows that:

This kinetic model adopts the steady-state hypothesis , according to which the concentration of the enzyme-substrate complex is small and constant throughout the reaction (Figure, right).

Therefore, the rate of formation of the enzyme-substrate complex (v 1 ) is equal to that of its dissociation (v 2 + v 3 ):

Further, as [ES] is constant, the rate of formation of the products is constant:

As v 1 = v 2 + v 3 , we can say that:

k 1 [S] [E T ] – k 1 [S] [ES] = k 2 [ES] + k 3 [ES]

Solving for [ES], is that: being km=(k2+k3) / k1, where the expression (k 2 + k 3 ) / k 1 has been replaced by K M , or Michaelis-Menten constant .

This link gives us an explanation of the reasons that make the K M an important kinetic parameter .

Thus, at steady state, the rate of formation of the product is:

For any enzyme, [E reaction T], k 3 and KM are constants. Let us consider two extreme cases:

  • A small substrate concentrations ([S] << KM ) = v (k3[ET] /KM) [S]. As the terms in parentheses are constant, they can be included in a new constant, kobs, so that the expression is reduced to v = k obs [S], so that the reaction is a first-order kinetic process.
  • A high substrate concentrations ([S] >> KM), v = k 3 [E T ] . The reaction rate is independent of the concentration of the substrate, and therefore, the reaction is a zero-order kinetic process. In addition, both k 3 and [E T ] are constant and allows us to define a new parameter, the maximum reaction rate (V max ): V max = k 3 [E T ], which is the rate that would be achieved when all available enzyme bound to the substrate is at.

If we introduce the parameter V max in the general rate equation (boxed formula above), we obtain the best known of the Michaelis-Menten expression :

There are enzymes that do not obey the Michaelis-Menten equation. It says it’s not Michaelian kinetics. This happens with Allosteric enzymes, whose graph v vs. [S] is not hyperbole, but a sigmoid (figure right). The Sigmoidal kinetics, small variations in [S] in a critical area (near KM ) results in large variations in the reaction rate.


Chemical mechanism

An important goal of measuring enzyme kinetics is to determine the chemical mechanism of an enzyme reaction, i.e., the sequence of chemical steps that transform substrate into product. The kinetic approaches discussed above will show at what rates intermediates are formed and inter-converted, but they cannot identify exactly what these intermediates are.

Kinetic measurements taken under various solution conditions or on slightly modified enzymes or substrates often shed light on this chemical mechanism, as they reveal the rate-determining step or intermediates in the reaction. For example, the breaking of a covalent bond to a hydrogen atom is a common rate-determining step. Which of the possible hydrogen transfers is rate determining can be shown by measuring the kinetic effects of substituting each hydrogen by deuterium, its stable isotope. The rate will change when the critical hydrogen is replaced, due to a primary kinetic isotope effect, which occurs because bonds to deuterium are harder to break then bonds to hydrogen. It is also possible to measure similar effects with other isotope substitutions, such as 13 C/ 12 C and 18 O/ 16 O, but these effects are more subtle.

Isotopes can also be used to reveal the fate of various parts of the substrate molecules in the final products. For example, it is sometimes difficult to discern the origin of an oxygen atom in the final product since it may have come from water or from part of the substrate. This may be determined by systematically substituting oxygen's stable isotope 18 O into the various molecules that participate in the reaction and checking for the isotope in the product. The chemical mechanism can also be elucidated by examining the kinetics and isotope effects under different pH conditions, by altering the metal ions or other bound cofactors, by site-directed mutagenesis of conserved amino acid residues, or by studying the behaviour of the enzyme in the presence of analogues of the substrate(s).


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